2027학년도 동국대학교 대비 수리논술 기출 문제집

QUESTIO UNIVERSITY ESSAY SERIES

2027학년도 대입 수리논술 실전 대비

2027학년도 동국대학교 대비
수리논술 실전 모의고사 [제3회] 문제집

• 2026·2025·2024·2023·2022·2021학년도 동국대학교 수시모집 논술전형 자연계열 기출 전 문항 원문 수록
• 1문항 1페이지 실전 A4 모의고사 규격 & 도형·표 스크린샷 '어울림' 조판 준수
• 문항별 출제 과목, 핵심 성취기준 키워드, 권장 소요 시간 및 실전 답안지 일체형 탑재

QUESTIO 입시연구소 · questio.co.kr

🏆 [실전 모의고사 제3회 · 문제 1] 기하와 벡터 — 이차곡선의 성질과 거울 빛 반사

2027학년도 동국대 모의고사 제3회 (30점)

기하와 벡터 (기하)

포물선·타원·쌍곡선의 초점과 접선, 빛의 반사 [출처: 비상교육 기하 (DB: GEOM_Ch01) PDF p.2~5 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 포물선 $(y-n)^2 = 4p(x-m)$의 초점은 $(p+m, n)$, 준선은 $x = -p+m$이다. 타원 $\dfrac{(x-m)^2}{a^2} + \dfrac{(y-n)^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$의 초점은 $(\pm c + m, n)\;(c = \sqrt{a^2 - b^2})$이며, 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$의 초점은 $(\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【나】 포물선 모양의 반사경에서 포물선의 초점 $\mathrm{F}$에서 출발한 빛은 포물선에 반사된 후 포물선의 축에 평행하게 직진한다. 또한 빛이 곡선 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 반사될 때, 점 $\mathrm{P}$에서의 접선에 대하여 입사각과 반사각의 크기는 서로 같다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

【다】 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.

- 『고등학교 기하와 벡터』

[문제 1] 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) 방정식 $x^2 + y^2 = (kx + 2)^2$에서 $k = \dfrac{1}{2}$일 때의 타원의 두 초점의 좌표와, $k = 1$일 때의 포물선의 초점의 좌표 및 준선의 방정식을 각각 구하시오. (10점)

(2) 오른쪽 그림과 같이 단면이 포물선 $y^2 = 8x\;(0 \le x \le 8)$ 모양인 거울의 초점 $\mathrm{F}(2, 0)$에서 쏜 빛이 포물선 위의 점 $\mathrm{G}(4, 4\sqrt{2})$에서 반사되어 직진한 후, 단면이 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{y^2}{4} = 1\;(x \ge 2\sqrt{3})$ 모양인 거울 위의 점 $\mathrm{P}$에서 반사된다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표와 점 $\mathrm{P}$에서의 쌍곡선의 접선 $l$의 $x$절편을 각각 구하시오. (10점)

(3) (2)에서 접선 $l$이 $x$축과 이루는 예각을 $\gamma$, 점 $\mathrm{P}$에서 반사된 빛의 연장선 $m$이 $x$축과 이루는 예각을 $\delta$라 할 때, $\tan\gamma$와 $\tan\delta$의 값을 각각 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제3회 · 문제 2] 미적분 — 역함수의 미분법과 삼각함수 덧셈정리

2027학년도 동국대 모의고사 제3회 (30점)

미적분

탄젠트함수의 덧셈정리, 역함수의 미분법, 치환적분법 [출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5~10 예제 1, 예제 4 접선 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅱ-02-01, 12미적Ⅱ-03-01]

⏱️ 권장 25분 / 전체 90분 (30점)

【가】 탄젠트함수의 덧셈정리에 의하여 두 직선의 기울기가 각각 $m_1 = \tan\alpha, \; m_2 = \tan\beta$일 때, 두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여 $$\tan\theta = |\tan(\alpha - \beta)| = \left|\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\right| = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$$

- 『고등학교 미적분』

【나】 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능할 때, $y = f^{-1}(x)$의 도함수는 $$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \quad \left(\text{단, } f'(f^{-1}(x)) \neq 0\right)$$

- 『고등학교 미적분』

【다】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $h(x)$와 미분가능한 함수 $x = f(t)$에 대하여 $a = f(\alpha), \; b = f(\beta)$일 때 $$\int_a^b h(x)\,dx = \int_\alpha^\beta h(f(t))f'(t)\,dt$$

- 『고등학교 미적분』

[문제 2] 함수 $f(x) = \sin x + 3x + 2$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 미분가능하다. 실수 $t$에 대하여 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선을 $l_1$, 곡선 $y = f^{-1}(x)$ 위의 점 $(f(t), t)$에서의 접선을 $l_2$라 하고, 두 직선 $l_1, l_2$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때 $g(t) = \tan\theta$라 하자. 다음 물음에 답하시오. <15줄 이내> [30점]

(1) $g(t)$를 $\cos t$에 대한 식으로 나타내고, $g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$의 값을 구하시오. (10점)

(2) 함수 $g(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 정적분 $\displaystyle\int_{f(0)}^{f(2\pi)} g(f^{-1}(x))\,dx$의 값을 구하시오. (10점)

🏆 [실전 모의고사 제3회 · 문제 3] 확통·미적분 — 이산확률변수의 기댓값·분산과 정적분 급수

2027학년도 동국대 모의고사 제3회 (40점)

확률과 통계, 미적분

이산확률변수의 기댓값과 분산, 정적분과 급수의 합, 부분적분법 [출처: 한국교육과정평가원 확통 (DB: KICE_2028) PDF p.1~4 | 성취기준: 12확통03-01, 12미적Ⅱ-03-01]

⏱️ 권장 40분 / 전체 90분 (40점)

【가】 이산확률변수 $X$의 확률질량함수가 $\mathrm{P}(X = x_i) = p_i\;(i = 1, 2, \cdots, n)$일 때, 기댓값(평균)과 분산은 다음과 같다. $$\mathrm{E}(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i, \qquad \mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 p_i - \{\mathrm{E}(X)\}^2$$

- 『고등학교 확률과 통계』

【나】 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx$이다. $\left(\text{단, } \Delta x = \dfrac{b-a}{n}, \; x_k = a + k\Delta x\right)$

- 『고등학교 미적분』

【다】 두 함수 $u(x), v(x)$가 미분가능하고 $u'(x), v'(x)$가 연속일 때, $\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$이다.

- 『고등학교 미적분』

[문제 3] 자연수 $n$과 양의 상수 $a\;(a > 0)$에 대하여 이산확률변수 $X_n$의 확률질량함수가 다음 〈조건〉과 같이 정의될 때, 물음에 답하시오. <27줄 이내> [40점]

〈조건〉

① $\mathrm{P}(X_n = x_i) = \dfrac{g(x_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^n g(x_j)} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

② $g(x) = e^{-ax} \quad (a > 0)$

③ $\Delta x = \dfrac{2}{n}, \quad x_i = i\Delta x = \dfrac{2i}{n} \quad (i = 1, 2, 3, \cdots, n)$

(1) 극한값 $I_0 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n g(x_j)\Delta x$와 $I_1 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i g(x_i)\Delta x$를 각각 $a$에 대한 식으로 구하시오. (14점)

(2) 극한값 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}(X_n)$을 $a$를 이용하여 나타내시오. (12점)

(3) 극한값 $I_2 = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n x_i^2 g(x_i)\Delta x$를 구하고, 이를 이용하여 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{V}(X_n)$을 $a$를 이용하여 나타내시오. (14점)